Physics and Art: the symmetries of Paolo Uccello

(Italian version follows below/ versione italiana a fine pagina)

Emmy Noether’s  (1882-1935) theorem, a milestone of modern physics, asserts that every symmetry corresponds to a conserved quantity. For example, the isotropy of the space, that is, its invariance to rotations is associated with the conservation of angular momentum.  Noether’s theorem dictates its rules both in the macroscopic world and at the microscopic level; in fact we find the correspondence between symmetries and conserved momenta even in quantum systems, which show, in addition to the continuous symmetries of the macrocosm, other symmetries, peculiar of a discretized reality. Each symmetry, i. e. each property of invariance of a system with respect to a certain operation, and its associated conserved quantity, belong to the same symmetry group,  namely to the same set of transformations that leave unchanged certain characteristics of a given object when they are applied to it.

Evariste Galois (1811-1832), precocious mathematical genius who passed away prematurely, first identified the symmetry groups  correlating these to the sets of “valid” permutations of solutions of an algebraic equation with rational coefficients. The resolvability of an equation is related to the symmetry group of permutations of its solutions or rather to its separability in rotational symmetries of figures with a prime number of sides. If this requirement is not verified, analytical solutions do not exist. Galois discovered that the 120 (5!) permutations of the solutions of an equation of fifth degree belong to a group of symmetry divisible into two subgroups, with 60 and 2 symmetries. The 60 symmetries of the first group are related to each other in a complex manner and are not further reducible. The rotational symmetries of a dodecahedron belong to the same group of 60 invariances. The Platonic solid, associated in the Timaeus to the quintessence, elusive substance that pervades and “decorates” the cosmos,  visually represents the first limit imposed by nature to the possibility of solving equations.

In his futuristic prospective studies and studies of symmetry, Paolo Uccello, born Paolo di Dono (1397-1475), probably took advantage of the advice of the mathematician and astronomer Paolo dal Pozzo Toscanelli (1397-1482). Paolo Uccello seemed to sense the potential of the dodecahedron, as an emblem of the power exercised by the symmetry on the calculation power. His famous starry dodecahedron inspired numerous lithographs by Escher, from “The thorny flower” to “Order and Chaos” and constituted a visual model for the development of modern techniques of tensile structure. The image joins to the mathematical roots of physical reality, sublimating them and building a bridge between science and art.  Not surprisingly, in 1986 it was chosen as exhibition poster for the Venice Biennale dedicated to this topic.

The Tuscan painter and mosaicist created another masterpiece with great physical and mathematical allure: the illustration, described by Vasari as “a mazzocchio pulled with only lines, so beautiful that nothing but the patience of Paulo would have drawn it”. The toroidal headdress outlined by Paolo Uccello is similar to the most sophisticated representations of  Arnold’s surface, paradigm of periodic and almost periodic motions in dynamical systems.

In addition to understanding the spatial  geometries, the artist realized the value of time as an absolute entity. His liturgical clock in Santa Maria del Fiore (1443) is divided into 24 sectors that follow the hora italica and performs an unusual counter-clockwise motion that recalls the direction of rotation of the Earth. The dial is one of the first not to depict the zodiac constellations. The intent is to symbolize, for the Renaissance man, religious and rational at the same time, the freedom from influence of the heavenly bodies. The immortal works of Paolo Uccello hand down to us a fundamental message: only the physical laws, with their indispensable counterpart of mathematical models, are able to effectively describe the behaviour of the universe and the likely destinies of its inhabitants.


Fisica e Arte: le simmetrie di Paolo Uccello
Il teorema di Emmy Noether (1882-1935), pilastro della fisica moderna, asserisce che a ogni simmetria corrisponde una quantità conservata. Ad esempio, all’isotropia dello spazio, cioè alla sua invarianza per rotazioni è associata la conservazione del momento angolare. Il teorema di Noether detta le sue regole sia nel mondo macroscopico sia a livello microscopico; ritroviamo infatti la corrispondenza tra simmetrie e integrali primi anche nei sistemi quantistici, che oltre alle simmetrie continue del macrocosmo ne possiedono altre, peculiari di una realtà discretizzata. Ogni simmetria, ossia ogni proprietà di invarianza di un sistema rispetto a una certa operazione, e la sua grandezza conservata associata appartengono al medesimo gruppo di simmetria, cioè allo stesso insieme di trasformazioni che, applicate a un certo oggetto, ne lasciano immutate determinate caratteristiche.

Evariste Galois (1811-1832), precoce genio matematico prematuramente scomparso, individuò per primo i gruppi di simmetria, correlandoli agli insiemi di permutazioni “valide” delle soluzioni di un’equazione algebrica a coefficienti razionali. La risolubilità di un’equazione è correlata alla scomponibilità del gruppo di simmetria delle permutazioni delle soluzioni in simmetrie rotazionali di figure con un numero primo di lati. Se tale requisito non è verificato, non esistono soluzioni analitiche. Galois scoprì che le 120 (5!) permutazioni delle soluzioni di un’equazione di quinto grado appartengono a un gruppo di simmetria divisibile in due sottogruppi, con 60 e 2 simmetrie. Le 60 simmetrie del primo gruppo sono correlate tra loro in maniera complessa e non risultano ulteriormente riducibili. Allo stesso gruppo di 60 invarianze appartengono le simmetrie rotazionali di un dodecaedro. Tale solido platonico, associato nel Timeo alla quintessenza, sostanza inafferrabile che pervade e “decora” il cosmo, rappresenta visivamente il primo limite imposto dalla natura alla possibilità di risolvere equazioni.

Paolo di Dono detto Paolo Uccello (1397-1475), nei suoi avveniristici studi prospettici e sulla simmetria si avvalse probabilmente della consulenza del matematico e astronomo Paolo dal Pozzo Toscanelli (1397-1482). Paolo Uccello sembrò intuire le potenzialità del dodecaedro come emblema del potere esercitato dalla simmetria sulla capacità di calcolo. Il suo celeberrimo dodecaedro stellato ispirò numerose litografie di Escher, dal “Fiore spinoso” a “Ordine e caos”, e costituì un modello visuale per lo sviluppo delle moderne tecniche di tensostruttura. L’immagine aderisce alle radici matematiche della realtà fisica, sublimandole e gettando un ponte tra scienza e arte: non a caso fu scelta come manifesto della Biennale di Venezia del 1986 dedicata a tale tematica.

Altro capolavoro dal fascino fisico-matematico del pittore e mosaicista toscano è l’illustrazione descritta dal Vasari come “un mazzocchio tirato con linee sole, tanto bello che altro che la pacienza di Paulo non l’avrebbe condotto”. Il copricapo toroidale delineato da Paolo Uccello è del tutto simile alle più sofisticate rappresentazioni della superficie di Arnold, paradigma dei moti periodici e quasi periodici nei sistemi dinamici.

Oltre alle geometrie spaziali, l’artista comprese il valore del tempo come entità assoluta. Il suo orologio liturgico in Santa Maria del Fiore (1443) è suddiviso in 24 settori che ricalcano l’ hora italica e compie un inusuale movimento antiorario aderente al verso di rotazione della Terra. Il quadrante è uno dei primi a non raffigurare costellazioni zodiacali. L’intento è di simboleggiare la libertà dell’uomo rinascimentale, religioso e razionale al tempo stesso, dagli influssi degli astri. Le opere immortali di Paolo Uccello ci tramandano un messaggio fondamentale: solo le leggi fisiche, con il loro indispensabile contraltare di modelli matematici, sono in grado di descrivere efficacemente il comportamento dell’universo e i probabili destini dei suoi abitanti.

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