Gazing endless spaces…

 

(Italian version follows below/versione italiana a fine pagina)

In the tale entitled “The Book of Sand”, Jorge Luis Borges narrates of an ancient volume whose pages are countless as the grains of sand. Despite the compact size of the tome, it is not possible to find neither its beginning nor its end: between the cover and the opening words, and between the last facade and the lower plate, new sheets continually interpose, numbered arbitrarily without an order, written in an unknown language; index does not exist, and if you turn a page, it disappears forever from view, swallowed by the mare magnum of paper. Kidnapped by the unique properties of the book, the main character isolates himself from the rest of the world, trying to catch its secrets. He notes some marginal descriptions of the pages, such as the numbering or the designs, but he lets out the essential information, since he forgets to read the written content;  finally, to avoid total alienation, he decides to abandon the volume between the shelves of the National Library, taking care, in the future, to switch to a safe distance from the building.

Infinity has always fascinated and terrified, conducting the logical-mathematical reasoning toward unexplored horizons and apparent antinomies. The most famous version of the popular Banach-Tarski paradox on infinite (1924) utilizes the axiom of choice formulated by Zermelo (1904), which asserts the possibility to freely choose one element from each non-empty set of a given family, to show that a common unit sphere in three-dimensional Euclidean space can be decomposed into five portions, which can be recombined by means of ordinary translations and rotations, without deformation, in order to constitute two complete unitary spheres. An alternative formulation shows that it is possible to cut a solid sphere with the size of a glass marble  in a finite number of parts and reassemble these in a solid sphere with the size of the Sun. The paradox is less convoluted, considering the uncountable cardinality of a subspace of Euclidean space and associating it to that of a limited interval of real numbers: dividing into two parts a set with the cardinality of the continuum, we get two subsets with the same cardinality of the initial set. In the so-called Vitali interpretation, which makes the theorem more accessible, not measurable subsets of the real line are related to solids of undetermined volume in the three dimensional space: the impossibility of measuring a volume involves the impracticability of verification processes about  its possible duplications.

The applications of such a mathematical construct to the physical universe are confined to a purely speculative level. For example, an ideal elementary particle, with undetermined volume and, therefore, undetermined mass, could hypothetically reach, at a certain instant of time, the dimensional limits imposed by the Planck length and mass, and act as a non-singular probe for spacetime border regions, at the scale of quantum gravity.

Regarding infinite sets with a countable cardinality, the paradox of the Grand Hotel attributed to David Hilbert (1862-1943) effectively outlines their peculiar characteristics. In the John D. Barrow “Infinities” show, represented by Luca Ronconi at the Piccolo Teatro di Milano in 2002 and 2003, a hotelier struggling with the arrival of an unlimited number of customers, from an endless chain of hotels, devises an endless series of mathematical artifices to accommodate all the travellers in his infinite hotel, trying not to leave empty rooms. The result is hilarious and surprising from time to time, subverting common sense and reminding us that in an infinite universe there is no room for the obvious and nothing can be taken for granted.


Mirando interminati spazi…

Nel racconto intitolato “Il libro di sabbia”, Jorge Luis Borges narra di un antico volume le cui pagine sono innumerevoli come i granelli di sabbia. Nonostante le dimensioni contenute del tomo, non  è possibile trovarne l’inizio né la fine: fra la copertina e l’incipit, e tra l’ultima facciata e il piatto inferiore, si interpongono sempre nuovi fogli, numerati arbitrariamente senza un ordinamento, scritti in una lingua sconosciuta; non esiste indice, e se si volta una pagina, essa scompare per sempre alla vista, inghiottita dal mare magnum cartaceo. Rapito dalle singolari proprietà del libro, il protagonista si isola dal resto del mondo per cercare di carpirne i segreti. Annota alcune descrizioni marginali relative alle pagine, come la numerazione o i disegni, ma si lascia sfuggire le informazioni fondamentali, poiché dimentica di leggerne il contenuto scritto; infine, per evitare la totale alienazione, decide di abbandonare il volume tra gli scaffali della Biblioteca Nazionale, avendo cura, in seguito, di passare a debita distanza dall’edificio.

Da sempre l’infinito affascina e sgomenta, e conduce il ragionamento logico-matematico verso orizzonti inesplorati e apparenti antinomie. La più nota versione del celebre paradosso sugli infiniti di Banach-Tarski (1924) utilizza l’assioma di scelta di Zermelo (1904), che asserisce la possibilità di scegliere liberamente un elemento da ogni insieme non vuoto di una data famiglia, per mostrare che una comune sfera unitaria nello spazio euclideo tridimensionale può essere scomposta in cinque porzioni, le quali possono essere ricombinate mediante traslazioni e rotazioni ordinarie, senza deformazione, per costituire due sfere unitarie complete. Una formulazione alternativa mostra che è possibile tagliare una sfera solida con le dimensioni di una biglia in un numero finito di parti e riassemblare queste ultime in una sfera solida con le dimensioni del sole. Il paradosso risulta meno ostico considerando la cardinalità non numerabile di un sottospazio dello spazio euclideo e associandola a quella di un intervallo limitato di numeri reali: dividendo in due parti un insieme con la cardinalità del  continuo, si ottengono due sottoinsiemi con la stessa cardinalità dell’insieme di partenza. Nella c.d. interpretazione alla Vitali, che rende il teorema più accessibile, si correlano sottoinsiemi non misurabili della retta reale a solidi di volume indeterminato nello spazio tridimensionale: l’impossibilità di misurare un volume implica l’inattuabilità dei processi di verifica di una sua eventuale duplicazione.

Le applicazioni all’universo fisico di tale costrutto matematico sono confinate a un livello puramente speculativo. Ad esempio, una particella elementare ideale, dotata di volume e, dunque, massa indeterminati potrebbe ipoteticamente raggiungere, ad un certo istante di tempo,  i limiti dimensionali imposti da lunghezza e massa di Planck e fungere da sonda non singolare per regioni di frontiera dello spaziotempo alle scale della gravità quantistica.

Per quanto riguarda gli insiemi infiniti con cardinalità numerabile, la metafora dell’Albergo Infinito attribuita a David Hilbert (1862-1943) delinea efficacemente le loro peculiari caratteristiche. Nello spettacolo “Infinities” di John D. Barrow, rappresentato da Luca Ronconi al Piccolo Teatro di Milano nel  2002 e nel 2003, un albergatore alle prese con l’arrivo di un numero illimitato di clienti, provenienti da una interminabile catena di alberghi, escogita una serie inesauribile di artifici matematici per alloggiare tutti i viaggiatori nel proprio Albergo Infinito, cercando di non lasciare stanze vuote. Il risultato è di volta in volta esilarante e sorprendente, sovverte il senso comune e ci ricorda che in un Universo infinito non c’è posto per l’ovvietà e nulla può essere dato per scontato.

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